晶體學(xué)涉及晶體本身的性質(zhì)（如對稱性和各向異性）及晶體在外部條件變化時的結(jié)構(gòu)變化（如溫度、壓力、磁場、電場等）。描述晶體本身及其變化的最常用的工具之一就是極射赤面投影法或極射投影圖?！恫牧峡茖W(xué)基礎(chǔ)》課程是材料專業(yè)最基本的理論課程，涉及的材料主要是晶體。如果問剛學(xué)過《材料科學(xué)基礎(chǔ)》課程的學(xué)生，哪些概念相對難？苦澀難懂？肯定會有不少同學(xué)說，極射投影圖難懂，有效使用更難。如果問及這個工具用于哪些場合？同學(xué)們基本能答出用于確定不同晶體學(xué)方向夾角的測定，用于多晶織構(gòu)的表達(dá)。至于熟練應(yīng)用，就很難達(dá)到，或令人望而生畏了。針對此現(xiàn)象，作者曾編輯出版了《材料科學(xué)名人典故與經(jīng)典文獻(xiàn)》[1]一書，收集整理了極射投影圖方法的演變歷史及在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，并在課程教學(xué)中予以展示。由于作者長期從事的材料學(xué)研究中頻繁用到極射投影圖和極圖，因此充分體會到其直觀性和便利性；此外，隨著科技的不斷進(jìn)步，特別是計算機(jī)及軟件開發(fā)和測試技術(shù)的進(jìn)步，晶體學(xué)這個既傳統(tǒng)又成熟但其應(yīng)用還遠(yuǎn)不普及的學(xué)科，越來越頻繁地被應(yīng)用，極射投影圖也越來越廣泛地得以使用。在此結(jié)合作者所收集的資料和自己的科研工作討論極射投影法和極圖的“神奇”、有趣和廣泛應(yīng)用，希望引起讀者的興趣，并在研究工作中注重其應(yīng)用。

1.   極射赤面投影的基本概念

圖1給出極射赤面投影原理圖。極射赤面投影方法是由單位球的中心出發(fā)的任一晶向，與球面相交（球面投影概念）于A點(diǎn)，該交點(diǎn)A向單位球的南極（下半球）投影，投影線AS與赤道面的交點(diǎn)′A′就是該晶向三維方向的二維坐標(biāo)或表達(dá)。類似地可做出三維晶體方向B（實際是原點(diǎn)到B的方向）在二維赤道面的投影位置′B′。A，B方向在空間的夾角就等于′A′和′B′在平面投影圖中的夾角，該投影過程是保角的，這個角度要用吳氏網(wǎng)（Wullf net）來度量，見圖1(c)。具體方法是，將′A′ 、′B′投影點(diǎn)轉(zhuǎn)到吳氏網(wǎng)的經(jīng)線上，量出它們之間的緯度角值。由極射赤面投影制作過程及使用的吳氏網(wǎng)可知，極射赤面投影圖與地球儀、地理、航海有密切聯(lián)系，甚至可以說是由其演變而來。吳氏網(wǎng)上的經(jīng)線是不同傾斜角度并過球心的大圓的極射投影，而吳氏網(wǎng)上的緯線是垂直于赤道面的一系列小圓的極射投影線。

在晶體學(xué)中，為了一目了然地看出晶體中所有重要晶面的相對取向及對稱關(guān)系，通常使用的方法是制作極射赤面標(biāo)準(zhǔn)投影圖。一般選擇某個低指數(shù)晶面（例如(100)、(110)、(111)等）作為投影面（即赤道面），將其他重要的晶面的極點(diǎn)投影到這個面上（圖2（c））。圖2是立方系(001)標(biāo)準(zhǔn)投影圖的制作過程及其標(biāo)準(zhǔn)投影圖。能看出繞中心<001>軸的4次對稱性及鏡面對稱關(guān)系。圖2（d）是作者2005年在比利時魯汶?yún)⒓訃H材料織構(gòu)會議參觀魯汶大學(xué)材料學(xué)院時見到的極射投影法教具，是圖2（b）的實物化。如果要求出極射圖（圖2（c））中某一位置點(diǎn)對應(yīng)哪個(hkl)晶向指數(shù)是多少？只需量出其與3個<100>軸的交角，求出3個角度余弦之比并互質(zhì)化即可[2]。反之，如果要確定一個（hkl）極點(diǎn)或晶向在標(biāo)準(zhǔn)投影圖中的位置，只需求出其與三個{100}晶軸的夾角，在極射投影圖中畫出對應(yīng)角度的大圓及兩個緯線，其惟一的交點(diǎn)就是（hkl）極點(diǎn)位置。

在學(xué)習(xí)極射投影法時，應(yīng)注意區(qū)分極射投影圖與極圖的差異。極圖是在講述形變織構(gòu)、再結(jié)晶織構(gòu)知識點(diǎn)時使用的術(shù)語。不了解織構(gòu)的人可能認(rèn)為極圖就是極射投影圖的縮寫，其實極圖除含極射投影的含義外，還包含樣品坐標(biāo)系的信息，即標(biāo)出晶體坐標(biāo)系相對于樣品坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系（這就是晶體取向的定義），{100}極圖指畫出所有不同取向晶粒的{100}投影點(diǎn)、又表達(dá)出樣品坐標(biāo)系與晶體坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)關(guān)系的極射投影圖（見后文的舉例）。很多情況下，使用者不關(guān)心樣品坐標(biāo)系，只關(guān)心晶體坐標(biāo)系，因此就用常見的極射投影圖。而一旦涉及樣品坐標(biāo)系的取向或方位，就要用極圖。

不同領(lǐng)域的研究者還應(yīng)注意極射投影法與等面積投影法的差異[3]。礦物學(xué)、晶體學(xué)中主要分析各種晶體學(xué)方向或晶面間的關(guān)系，要在二維圖上保持三維空間的角度關(guān)系，所以習(xí)慣使用等角度投影的吳氏網(wǎng)（Wullf net）來度量；而地質(zhì)學(xué)、地理學(xué)、測繪學(xué)中常需要描述地球上不同區(qū)域或國家大小比例間的關(guān)系，所以習(xí)慣用等面積投影的方式作圖或度量，這就要用到等面積投影的Lambert網(wǎng)或Schmidt網(wǎng)[4]。圖3給出(a)等角度投影吳氏網(wǎng)（Wullf網(wǎng)）與(b)等面積投影Schmidt網(wǎng)的差異。繪制兩種網(wǎng)的數(shù)學(xué)公式的差異見文獻(xiàn)[3]。

2.   極射赤面投影法應(yīng)用歷史

2.1   極射投影圖的歷史演變

由構(gòu)造極射赤面投影圖時提到的南極、北極、赤道，就不難想象，這種方法是從地理學(xué)演變過來的。然而在天體學(xué)中極射投影法的應(yīng)用比地理學(xué)還早。早在公元前125年，古代最偉大的天文觀察家、三角幾何學(xué)的開創(chuàng)者Hipparchos（希帕克斯）最先引入極射投影法[3]，大致出現(xiàn)在古埃及時代，最初稱為平面球形投射。托勒密(Ptolemy)的“星圖”（Planisphaerium）是現(xiàn)存文獻(xiàn)中最早描述極射投影的著作(參見http://www.princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/docs/Stereographic_projection.html，感興趣的讀者可以查閱)。該著作最初是用古希臘語書寫的，并且是阿拉伯譯文中保存下來的科學(xué)著作之一。12世紀(jì)，這部著作由阿拉伯語譯成拉丁語。它的最重要的用途之一是描述天體。平面球形圖這個術(shù)語仍然被用于這類圖形。人們認(rèn)為最早的世界地圖是在1507年由Gualterious Lud創(chuàng)造的，它所依據(jù)的就是球的極射投影，即把每個半球映射為一個圓盤。在17世紀(jì)和18世紀(jì)，極射投影圖的赤道常用于表示地圖的東半球和西半球。圖4(a)為1500年代比利時畫家魯賓斯（Rubens）的一幅畫，畫出了天體球及其在地面上的影子，恰好是一個三維球和其二維投影圖。圖4(b)為天文學(xué)家al-Zarquala于1070年用的萬用天體觀測儀（星盤）[3]。左側(cè)為極射投影網(wǎng)，右側(cè)為固定格式化的星體指針。上部是天體的北極，投影面是過天體極和夏至、冬至位置的大圓。該大圓被晝夜平分的天體赤道面等分。圖4(c)為中國古代天體測量學(xué)及天文儀器(參見https://baike.so.com/doc/8267375-8584364.html)。

作者曾有集郵的愛好，留學(xué)德國期間也收集了一些德國的郵票，恰好有一套1500—1700年收藏家所擁有的天體儀與地球儀藏品的郵票，見圖5。天體儀可以用于確定宇宙中各星球的相對位置，也可用于確定24個節(jié)氣和每天24小時的時間點(diǎn)。

天體儀是天體定位的工具，是指一個以地球質(zhì)心M為中心，半徑r為任意長的一個假想的球體。其目的是將天體沿觀測者視線投影到球面上（球面投影的概念），以便于研究天體及其相互關(guān)系。有時還將天球球心設(shè)置在某些特殊點(diǎn)，如地心和日心，相應(yīng)的天球分別稱為地心天球和日心天球。天文航海按自身的需要，把地心作為天球的球心。星星從東方的地平線爬上來，爬到最高點(diǎn)(中天)，然后往西方沉下去?？雌饋砭拖裾麄€天球圍繞著地球旋轉(zhuǎn)一樣。古時候人們?yōu)榱吮鎰e方向、確定時間，創(chuàng)造出日晷和圭表來。古代天文學(xué)家為了測定星星的方位和運(yùn)動，又設(shè)計制造了許多天體測量的儀器。通過對星空的觀察，將星空劃分成許多不同的星座，并編制了星表。通過對天體的測量和研究形成了早期的天文學(xué)。直到16世紀(jì)中葉，哥白尼提出了日心體系學(xué)說，從只是單純描述天體位置、運(yùn)動的經(jīng)典天體測量學(xué)，發(fā)展成尋求造成這種運(yùn)動力學(xué)機(jī)制的天體力學(xué)。

天球坐標(biāo)系中有幾種不同的坐標(biāo)表達(dá)方式(參見https://baike.so.com/doc/8520420-8840895.html)，分別為地平坐標(biāo)系、赤道坐標(biāo)系、時角坐標(biāo)系、黃道坐標(biāo)系。地平坐標(biāo)系與我們地球的赤道面對應(yīng)。赤道坐標(biāo)系中的天赤道對應(yīng)太陽繞地球轉(zhuǎn)動組成的軌跡面（實際是地球繞太陽轉(zhuǎn)），也叫黃道，見圖6(a)。天赤道的法線與球的交點(diǎn)是北極星位置。春分點(diǎn)、秋分點(diǎn)、夏至及冬至，正好平分天赤道圓。仔細(xì)觀察可見，極射投影圖中涉及天體學(xué)和地理學(xué)時，赤道面不是水平放置的，涉及地質(zhì)學(xué)和晶體學(xué)時赤道面是水平放置的。圖6(b)為Blaeu 1624年畫出的極射赤面投影圖[3]。傾斜的直線為黃道線，即太陽出現(xiàn)及消失的點(diǎn)，左下角為夏至點(diǎn)，右上點(diǎn)為冬至點(diǎn)，分別對應(yīng)摩羯座和巨蟹座。該圖收藏于英國倫敦科學(xué)博物館。

1823年F.E. Neumann最先將極射投影網(wǎng)用于礦物學(xué)[3]。1892年俄羅斯的晶體學(xué)家Federov因發(fā)明了萬用測角顯微鏡臺和1902年Wullf網(wǎng)的引入而共同推廣了其使用，見圖7。

最早的織構(gòu)在極圖（這時同時涉及樣品坐標(biāo)系與晶體坐標(biāo)系）上的表示：德國柏林大學(xué)的Wever于1924年用極圖表示了用X射線勞厄照相法獲取的軋制鋁和軋制鐵的織構(gòu)信息[5]。

圖8是2012年諾貝爾化學(xué)獎得主、以色列的材料學(xué)家Shechtman1982年發(fā)表準(zhǔn)晶文章中使用極射投影圖表示的5次旋轉(zhuǎn)反演對稱性（經(jīng)典的晶體只有1、2、3、4、6次軸對稱性）[6]。

簡而言之，極射投影法最早在天體學(xué)中應(yīng)用，隨后在航海、制圖學(xué)和測量學(xué)中的應(yīng)用，然后才用于礦物學(xué)和晶體學(xué)以及地質(zhì)學(xué)中，此外也在數(shù)學(xué)、攝影學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用。

2.2   極射投影技術(shù)的相關(guān)人物

與晶體學(xué)（含礦物學(xué)與材料科學(xué)）領(lǐng)域使用極射投影技術(shù)相關(guān)的人物除了俄羅斯的費(fèi)德洛夫(Fedorov)、英國的布拉格(Bragg)父子外，這里僅介紹使用極射投影網(wǎng)的兩位人物，俄羅斯的吳爾夫（Wulff）和奧地利的施密特（Schmidt），兩種投影圖網(wǎng)格工具以他們的名字命名。

俄羅斯礦物學(xué)家、莫斯科國家大學(xué)教授喬治?吳爾夫（Georgii Yuri Viktorovich Wulff (1863—1925))不是最早使用Wullf網(wǎng)的，而是他于1902年最早制作了最高“分辨率”的Wullf網(wǎng)，即直徑20 cm、每隔2°一個格。吳爾夫（照片見圖9，參見http://de.wikipedia.org/wiki/George_V._Wulff）畢業(yè)于華沙大學(xué)，導(dǎo)師是德國著名礦物學(xué)家von Groth[3]。他以對幾何晶體學(xué)的研究著稱。Wulff第一次在俄羅斯將X射線用于晶體的實驗研究。在Bravais和Fedorov理論基礎(chǔ)的基礎(chǔ)上，他發(fā)展了一種新的理論來預(yù)測在晶體生長過程中平衡態(tài)時的晶面情況，或者晶體溶解時哪個晶面先消失（稱吳爾夫構(gòu)造理論）。1908年建立的吳氏網(wǎng)是他發(fā)現(xiàn)的一種立體投影圖及晶體幾何測量工具。

極射投影法測量的另一個代表人物是奧地利地質(zhì)學(xué)家和巖相學(xué)家Walter Schmidt(1885—1945，參見https://de.wikipedia.org/wiki/Walter_Schmidt_(Geologe))。他于1907年畢業(yè)于奧地利維也納大學(xué)，學(xué)習(xí)地質(zhì)學(xué)和動物學(xué)，獲博士學(xué)位。隨后又到里奧本大學(xué)(Montanistic University of Leoben)學(xué)習(xí)，于1912年獲Diploma學(xué)位。1915年為地質(zhì)學(xué)講師，1918年為礦物學(xué)和巖相學(xué)副教授。1923年在里奧本大學(xué)做完講師資格工作，1926—1927年在德國哥廷根大學(xué)，1927年在德國Tübingen大學(xué)任副教授，1930年任德國柏林技術(shù)大學(xué)礦物學(xué)及巖相學(xué)教授。二次世界大戰(zhàn)結(jié)束時在柏林戰(zhàn)役中死亡。他是地質(zhì)領(lǐng)域構(gòu)造工程的代表人物，1925年與Bruno Sander一起設(shè)計了用于地質(zhì)領(lǐng)域測量的Schmidt網(wǎng)。然而，早在1772年瑞士數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家Johann Heinrich Lambert(1728—1777)提出等面積投影圖（所以等面積投影圖也稱Lambert圖），主要用于制圖學(xué)，即繪制地球表面，在投影圖中所有國家都能成比例地保持其尺寸大小。1917年Schmidt使用了等面積投影圖分析地質(zhì)學(xué)中的巖石組織，這開辟了其應(yīng)用的一個全新的領(lǐng)域。1925年Sanders將等面積投影圖網(wǎng)稱為Schmidt網(wǎng)[4]。

3.   極射投影法的應(yīng)用

以下簡單介紹極射投影法在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用(參見http://www.princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/docs/Stereographic_projection.html，感興趣的讀者可以查閱)，隨后再介紹其在作者教學(xué)中的應(yīng)用。

3.1   在不同學(xué)科中的應(yīng)用

3.1.1   在數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中的應(yīng)用

（1）用于復(fù)變函數(shù)；（2）用于線和平面3維的可視化；（3）用于多面體的可視化；（4）用于算法幾何。

3.1.2   在繪圖中的應(yīng)用（Cartography）

極射投影可用于映射地球。一般來說，統(tǒng)計方面應(yīng)用更傾向于使用保面積映射投影，因為他們在積分學(xué)上有很好應(yīng)用；而用于導(dǎo)航時則更傾向于使用保角映射投影。當(dāng)投射集中在地球的北極或南極時，它將有額外的特性，即將經(jīng)線表示成過原點(diǎn)到圓周的射線上，將緯線表示成集中或環(huán)繞于原點(diǎn)的圓周上，見圖10。

3.1.3   在地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用

在構(gòu)造地質(zhì)學(xué)中，應(yīng)用下半球的極射投影描繪平面和線的取向。人們關(guān)注的是巖石的面型特征-摺紋（foliation），而面型特征又由線型特征組成，稱為線理（lineation）。比如，面型特征斷層面(Fault)包含線型特征是帶有巖石間相對摩擦紋理的光滑表面（slickensides），見圖11。這些在不同尺度范圍內(nèi)的線和面的取向就可以用上述所說的線和面的顯像方法來描繪。與晶體學(xué)中使用極射投影相似的是，地質(zhì)學(xué)中的平面也用它的法線（極點(diǎn)）來表示；不同的是，地質(zhì)學(xué)中采用的是南半球而不是北半球(因為人們關(guān)注的問題發(fā)生在地球表面之下)。

圖12是1976年7月28日中國唐山大地震的P波初動符號和震源機(jī)制解答參數(shù)用吳爾夫網(wǎng)表示的結(jié)果(參見https://bkso.baidu.com/item/震源)。

3.1.4   在攝影術(shù)中的應(yīng)用（Photography）

魚眼鏡頭利用極射投影方法，以獲得更寬的視野（即廣角的概念）。利用保角的極射投影的魚眼鏡頭優(yōu)于利用保面積的極射投影，因為保角的極射投影可使接近邊緣的區(qū)域更好地保留他們的形狀，并且直線很少被投影成彎曲線，見圖13。

3.2   極射投影圖在作者教學(xué)中的應(yīng)用舉例

由于本科課程學(xué)時有限，課上難以也沒有必要展示極射投影的廣泛用途，但可以在研究生與晶體學(xué)有關(guān)課程中進(jìn)一步介紹。由此作者在研究生“材料結(jié)構(gòu)”課程教材《工程材料結(jié)構(gòu)原理》[7]中編入相應(yīng)內(nèi)容。將科研體會放在其中，將小軟件送給學(xué)生訓(xùn)練加速理解；在企業(yè)技術(shù)人員的培訓(xùn)中，將各方面應(yīng)用放在一起比較，培養(yǎng)歸納整理、總結(jié)的能力。

圖14為用極射投影圖表示晶體學(xué)點(diǎn)群對稱性特征的例子，是德國晶體學(xué)家Hessel提出的32種點(diǎn)群中第8、9號點(diǎn)群在極射圖中的表達(dá)。

圖15（a）是用極射投影圖表示閉形單晶外表面相同的{120}等效晶面對稱關(guān)系及位置的例子。立方晶體中1種閉形的立體形態(tài)（五角十二面體）及其極射赤面投影，圖15（b）是作者購置的FeS2單晶實物，與圖15（a）示意圖對應(yīng)。

圖16為用極射投影圖表達(dá)晶體塑性形變時不同滑移系開動行為的例子。對應(yīng)一個{100}<011>取向晶體的12個滑移系，每個滑移系由一個{111}極和{110}極連線組成，兩個極連成線。其中4個滑移系取向因子最大而首先開動（圖中的實線）。面心、體心立方結(jié)構(gòu)的滑移系位置一樣。在極圖上討論取向變化規(guī)律。兩個滑移系有相同的滑移方向稱共向滑移，極圖上有相交的{110}點(diǎn)(BCC金屬)；兩個滑移系有相同的滑移面稱共面滑移系，在極圖上有相交的{111}極點(diǎn)(FCC)。這個幾何圖既告訴我們哪些滑移系開動，又指導(dǎo)我們分析開動滑移系轉(zhuǎn)動的方向和為什么這個取向隨變形的進(jìn)行，取向卻是穩(wěn)定而不改變的。

圖17為用極圖表示不同取向BCC結(jié)構(gòu)Fe-3Si單晶軋制時沿板厚度方向形變均勻性的差異。冷軋時不同單晶的取向變化顯示不同的取向穩(wěn)定性；旋轉(zhuǎn)立方取向(100)[011]晶體軋制后，板材的表層出現(xiàn)繞橫向軸轉(zhuǎn)動，而板中心層取向不變，見圖17(a)和(b)。(112)[11¯0$\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">1</span>}\stackrel{<span\; style="font-size:16px;">¯</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">1</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">0</span>}$]取向的單晶冷軋后，表層與中心層取向都保持穩(wěn)定不變，見圖17(c)和(d)。說明兩種軋制穩(wěn)定的取向抵抗剪切力的能力不同。

圖18為在極圖上表示高層錯能的Al-1.3Mn合金軋制再結(jié)晶初期后出現(xiàn)的3階孿晶關(guān)系，是作者1994年在德國亞琛工業(yè)大學(xué)攻讀博士學(xué)位階段用EBSD技術(shù)檢測到的，測定時間1 min左右，測定時自然不知道各晶粒之間是什么關(guān)系，但一旦用{111}極圖顯示出來，便能確定其是由A→B→C，B→D的孿生關(guān)系；該結(jié)果發(fā)表在文章[10]中。

圖19為用{100}極圖的方式表示面心-體心結(jié)構(gòu)晶體按K-S取向關(guān)系相變時各變體的位置、數(shù)目及分布。一個面心立方結(jié)構(gòu)的{100}<001>立方取向晶粒按K-S關(guān)系可轉(zhuǎn)變?yōu)?4個體心立方結(jié)構(gòu)的馬氏體變體。每個取向有3個{100}投影點(diǎn)，24個取向共72個點(diǎn)。分屬于3種類型取向，每組8個取向。第一組近似為45°旋轉(zhuǎn)立方取向{100}<011>（圖中1-8#），第二組近似為反高斯取向{110}<11¯0>$<span\; style="font-size:16px;">\{</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">110</span>}<span\; style="font-size:16px;">\}</span><span\; style="font-size:16px;"><</span>\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">1</span>}\stackrel{<span\; style="font-size:16px;">¯</span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">1</span>}}\mathrm{<span\; style="font-size:16px;">0</span>}<span\; style="font-size:16px;">></span>$（圖中9-16#），第三組近似為高斯Goss取向{110}<001>（圖中17-24#）。這三組取向?qū)?yīng)不同的性能，問題是軋制變形或退火相變時哪些變體優(yōu)先出現(xiàn)，我們多次觀察到的是第一組優(yōu)先出現(xiàn)[11-12]。

多晶體的擇優(yōu)取向問題幾乎總是借助于極射赤面投影來分析解決的。此外單晶體和某些多晶體中的—些有方向性的力學(xué)或物理性質(zhì)，如彈性模量、屈服點(diǎn)和導(dǎo)電率等，可以在極射赤面投影上用圖解法表示。

4.   結(jié)束語

極射投影法是直觀的三維方向關(guān)系表達(dá)法，極射投影圖使其變?yōu)槎S紙面上的關(guān)系；涉及的領(lǐng)域從天體學(xué)、地理學(xué)、航行測繪、地質(zhì)學(xué)、晶體學(xué)、材料科學(xué)、數(shù)學(xué)等；在尺度上從納米尺度的晶體單胞到工件、微電子器件到礦物巖石、山體滑坡到地震災(zāi)害、地球太陽到宇宙。在時間上從古至今，在地域上遍及各大洲，離我們那么遠(yuǎn)又那么近，只要有心，那就是那么有趣。人既要在某一方面深入下去，也要有對多領(lǐng)域的了解，提高觸類旁通的能力。

文章來源——金屬世界